octobre | 2016 | MATHEMATIQUES

Birapport de quatre points:

Définition:

Soit $D$ une droite projective et soient $a,b,c,d$ quatre points de $D$ , avec $a,b,c$ distincts.
Soit $h$ l’unique homographie de $D$ sur $P^1(k)$ définie par $h(a) = \infty, h(b) = 0, h(c) = 1$ .
On appelle birapport des quatre points $a,b,c,d$ pris dans cet ordre l’élément $h(d) \in P^1(k) = k \cup {\infty}$ et on le note [a,b,c,d].
Soit $f : d \rightarrow d'$ une homographie. On a l’égalité :
$[a,b,c,d] = [f(a), f(b), f(c), f(d)]$ .

Les perspectives seront par la suite des homographies particulièrement utilisées ainsi que les incidences : Soit $D$ une droite et $m$ un point n’appartenant pas à $D$ . On appelle incidence l’ application qui à toute droite $\delta$ passant par $m$ associe l’unique point d’intersection $x$ de $D$ et $\delta$ .

Calcul du birapport:

Soit $D$ une droite projective et soient $a,b,c,d$ quatre points de $D$ , avec $a,b,c$ distincts, on a la formule suivante:
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