1–Les hauteurs dans un triangle

Soit ABC un triangle quelconque, H le point d’intersection des hauteurs issues de A et B.

Les points A,B,A’,B’ se situent sur un même cercle, on en déduit:

Les points C,A’,H et B’ se situent sur un même cercle, on en déduit:

La mesure de l’angle est donc ce qui démontre le concours des hauteurs dans un triangle.

2–Les longueurs des côtés d’un triangle sont proportionnelles aux sinus des angles opposés

Soit ABC un triangle et O le centre de son cercle circonscrit de rayon , D le point diamètralement opposé à B.

et donc

De même que et .

On en déduit

Soit un point et , et ses projetés othogonaux sur , et comme sur la figure ci-dessous:

La propriété énoncée ci-dessus permet alors d’écrire :

, dans et , dans

et finalement :

3–La droite de Simpson

Soit ABC un triangle, M un point quelconque du plan, E, F et G les projetés orthogonaux de M sur , et .

Les points A,E,M et G se situent sur un même cercle et on en déduit:

Les points G,C,M et F se situent sur un même cercle et on en déduit:

D’où l’égalité suivante :
.

Ce qui démontre que pour que les points E,F et G soient alignés il faut que M se situe sur le cercle circonscrit au triangle ABC.

Complément : Le théorème de Ptolémé

Les points étant alignés sur la figure ci-dessus, on a or la formule obtenue à la fin de l’exercice 2 donne , et soit finalement :

qui est la condition pour qu’un quadrilatère soit inscriptible dans un cercle.

4–Théorème du Pivot

Soient ABC un triangle , X, Y et Z trois points tels que

,

Montrer que les cercles circonscrits aux triangles , et sont concourrants.

Si B, C et A sont trois points situés sur les côtés d’un triangle , ce résultat porte le nom de théorème du Pivot.

5–Cercle d’Apollonius

Soit AEB un triangle, et les bissectrice de l’angle . La parallèle à passant par B coupe les deux bissectrices en F et G comme indiqué ci dessous.

Etude de la figure ci-dessus.

Monter que

Montrer que les triangles EGB et EBF sont isocèles et en déduire que B est le milieu de .

Montrer que les triangles CBF et CEA sont similaires et en déduire

Montrer que les triangles DGB et DEA sont similaires et en déduire

En déduire que (la longueur AB est la moyenne harmonique des longueurs AC et AD)

On cherche maintenant l’ensemble des points M du plan tels que

Soit M un point de , les bissectrices de l’angle coupent en I et J .

Montrer que

En déduire la nature de , faire une figure pour k=2.