Les ensembles de nombre | MATHEMATIQUES

On appelle ensemble naturel tout ensemble non vide et ordonné $X$ qui vérifie les trois axiomes :

$A_{1}$ ) Toute partie non vide a un plus petit élément ;

$A_{2}$ ) Toute partie non vide et majorée a un plus grand élément ;

$A_{3}$ ) $X$ n’a pas de plus grand élément.

Etant donnés deux ensembles naturels, il existe un, et un seul isomorphisme d’ensembles ordonnés de l’un sur l’autre.

L’isomorphisme ci-dessus permet d’« identifier » tous les ensembles naturels à l’un d’eux, que nous noterons $\mathbb{N}$

Etant donnés deux entiers $a$ et $b$ , on leur associe deux ensembles $A$ de cardinal $a$ et $B$ de cardinal $b$ , arbitrairement choisis (sous la réserve que $A \cap B = \emptyset$ dans le cas de la somme) et on pose :

$a+b =card(A\cup B)$ et $ab=card(A\times B)$

On appelle addition et multiplication les lois internes sur $\mathbb{N}$ ainsi obtenues.

Toute partie $A \subset \mathbb{N}$ , contenant 0 et stable par l’application $f : \mathbb{N} \longmapsto \mathbb{N}$ , qui à $n$ associe son successeur $n'$ , est égale à $\mathbb{N}$ .

Soit $\mathcal A (n)$ un prédicat sur l’univers $\mathbb{N}$ tel que

a) $\mathcal A (x)$ est vrai ;

b) $\forall n \in \mathbb{N} \;\;\; \mathcal A (n) \Rightarrow \mathcal A (n')$ est vrai.

On vérifie que $\{ n \in \mathbb{N}| \mathcal A (n)\}$ est une partie de $\mathbb{N}$ contenant 0 et stable par $f$ .

Alors $\mathcal A (n)$ est vrai pour tout $n \in \mathbb{N}$ . ( principe de récurrence )

Le couple $(E, T)$ constitué par un ensemble et une loi interne sur un ensemble est appelé un magma.

Soit $(E, T)$ un magma, on appelle élément régulier tout $a \in E$ tel que :

$\forall (x,y) \in E^2\;\;\; (xTa = yTa) \Rightarrow(x = y)$

Un semi-groupe est un magma $(E, T)$ , où T est une loi associative et telle que tout élément de $E$ soit régulier.

$(\mathbb{N}, + )$ est un semi-groupe commutatif.

On appelle relation d’équivalence sur un ensemble $E$ tout préordre symétrique sur $E$ , c’est-à-dire toute relation binaire sur $E$ qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.

Une telle relation $\mathscr{R}$ peut se noter $x\;\equiv y \;(\text{modulo} \mathscr{R} )$ .

Soit $\mathscr{R}$ une relation d’équivalence sur un ensemble $E$ , on appelle classe d’équivalence de $x$ l’ensemble $\bar{x} =\{ y \in E/ x \mathscr{R} y\}$ .

On appelle ensemble quotient de $E$ par $\mathscr{R}$ et on note $E / \mathscr{R}$ l’ensemble des classes d’équivalence.

Si $E$ est muni d’une loi interne $T$ , on dit que $\mathscr{R}$ est compatible avec $T$ si et seulement si :

$(x \mathscr{R} x' \land y \mathscr{R} y') \Rightarrow ( x T y ) \mathscr{R} ( x' T y')$

Il existe alors une unique loi interne $\bar{T}$ sur $E / \mathscr{R}$ définie par :

$\forall (X,Y ) \in (E / \mathscr{R})^2 ,\;\; \forall x \in X ,\;\; \forall y \in Y$ : $X\bar{T} Y =\phi (x T y)$ où $\phi$ est la surjection canonique de $E$ dans $E / \mathscr{R}$ .

On construit alors une extension $(\mathbb{Z},+)$ de $\mathbb{N}$ grâce à la méthode suivante dite de « symétrisation d’un semi groupe ».

Sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ , on définit une addition, notée aussi $+$ et une relation d’équivalence $\mathscr{R}$ ainsi :

$(x,y)+(x',y')= (x+x',y+y')$ et $(x,y) \mathscr{R}(x',y') \Longleftrightarrow x+y'=x'+y$

La relation $\mathscr{R}$ est compatible avec l’addition sur $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ , en effet:

$(x,y) \mathscr{R}(x'',y'') \Rightarrow (x,y)+(x',y')\mathscr{R} (x'',y'')+(x',y')$

Ce qui permet de munir l’ensemble $(\mathbb{N}\times \mathbb{N}) / \mathscr{R}$ que nous noterons désormais $\mathbb{Z}$ d’une addition, encore notée $+$

Soit $f$ : $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Z}$ définie par $f(x)=\phi(x+k,k)$ où $\phi$ est la surjection canonique de $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ dans $\mathbb{Z}$ .

$f(x)+f(y)= f(x+y)$ et $f$ est injective en effet :

$f(x)+f(y) \Longleftrightarrow \phi(x+k,k)=\phi(y+l,l)$ soit $(x+k,k) \mathscr{R}(y+l,l)$ $\Longleftrightarrow (x+k)+l =k+(y+l) \Longleftrightarrow x=y$

Cet isomorphisme permet d’identifier $\mathbb{N}=\phi(n,0)$ à une partie de $\mathbb{Z}$ ou de considérer $\mathbb{Z}$ comme une extension de $\mathbb{N}$ .

$(\mathbb{Z}, + )$ est un groupe commutatif.

En effet l’addition est associative et commutative, l’élément $\phi(x,x)$ noté $e$ est un élément neutre pour $+$ et tout élément $\phi(x,y)$ de $\mathbb{Z}$ possède un symétrique : $\phi(y,x)$

Munissons maintenant $\mathbb{Z}$ d’une structure d’anneau intègre:

On utilisera pour ce faire la multiplication suivante, compatible avec $\mathscr{R}$

$(x, y).(x', y') = (xx'+yy', xy'+yx')$

On vérifiera que la multiplication ainsi définie est bien distributive par rapport à l’addition

Il existe une et une seule relation d’ordre sur $\mathbb{Z}$ qui fasse de $\mathbb{Z}$ un anneau totalement ordonné. Cette relation s’écrit :

$x\leq y\Longleftrightarrow y-x \in \mathbb{N}$ .

Etant donné un anneau intègre A, il existe un corps commutatif K vérifiant les deux conditions :

i) K admet un sous-anneau isomorphe à A.

ii) K est minimal pour la condition i).

ce corps s’appelle corps des fractions de A.

Définissons sur $E=\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}/{0})$ la relation d’équivalence $\mathscr{R}$ définie par $(a, p)\mathscr{R} (a', p')\Longleftrightarrow ap' - a'p = 0$ .

Les lois suivantes :

addition : $(a, p)+(b, q) = (aq + bp, pq)$

multiplication : $(a, p) . (b, q) = (ab, pq)$

sont internes sur E.

Elles sont commutatives, associatives, et la multiplication est distributive par rapport à l’addition .

Elles sont compatibles avec la relation d’équivalence , par exemple :

$(a, p) \mathscr{R} (a', p') \Longleftrightarrow ap' - a'p = 0 \Longleftrightarrow (ap' - a'p)q^2 = 0$

$\Longleftrightarrow (aq + bp)p'q - (a'q + bp')pq = 0$

$\Longleftrightarrow(a, p) + (b, q)\mathscr{R} (a',p') + (b,q)$

On dispose alors sur l’ensemble quotient $E/ \mathscr{R}$ que nous noterons désormais $\mathbb{Q}$ , de lois-quotients, que nous notons encore $+$ et $.$

Soit $\phi$ la surjection canonique de $E$ dans $\mathbb{Q}$

Pour l’addition, $\phi(0,1)$ est élément neutre, et $\phi(-a,b)$ est opposé de $\phi(a,b)$

Pour la multiplication, $\phi(1,1)$ est élément neutre, et, pour tout $a$ non nul, $\phi(a,b)$ admet $\phi(b,a)$ pour inverse.

L’application $\epsilon$ : $\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Q}$ définie par $\epsilon(x)=\phi(x,1)$ est un morphisme d’anneau qui permet d’identifier $\mathbb{Z}$ au sous anneau $\epsilon(\mathbb{Z})$ de $\mathbb{Q}$ et de vérifier le caractère minimal de $\mathbb{Q}$

On écrira désormais $x$ pour désigner l’élément $\epsilon(x)$ de $\epsilon(\mathbb{Z})$ et comme $\phi(a,b)$ peut s’écrire $\epsilon(a).(\epsilon(b))^{-1}$ tout élélment de $\mathbb{Q}$ prend la forme $ab^{-1}$ que nous avons l’habitude d’écrire $\dfrac{a}{b}$ .

$(\mathbb{Q},+,.)$ est un corps commutatif.

On réalise une coupure $\Gamma$ dans le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels lorsqu’on effectue une partition de $\mathbb{Q}$ en deux sous-ensembles complémentaires non vides $X$ et $Y$ tel que tout élément $x$ du premier soit inférieur à tout élément $y$ du second.
$\forall x \in X , \forall y \in Y \Rightarrow x\leq y$

Toute coupure $\Gamma$ détermine dans $\mathbb{Q}$ deux classes $I$ et $S$ telles que :
1° Tout élément $a$ de $I$ est inférieur à tout élément $b$ de $S$ .
2° La classe inférieure $I$ n’admet pas d’élément maximal et la classe supérieure $S$ n’admet pas d’élément minimal.
3° Si un rationnel unique $r$ échappe à cette répartition, la coupure est dite rationnelle et $a \leq r \leq b$ . Sinon la coupure est dite irrationnelle et $I \cup S =\mathbb{Q}$ .

Et on appellera nombre réel toute coupure dans le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels.

Une journée sans Maths …