A propos de quotients | MATHEMATIQUES

On appelle relation d’équivalence sur un ensemble $E$ toute relation binaire sur $E$ qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.

Une telle relation $\mathscr{R}$ peut se noter $x\;\equiv y \;(\text{modulo} \mathscr{R} )$ .

Soit $\mathscr{R}$ une relation d’équivalence sur un ensemble $E$ , on appelle classe d’équivalence de $x$ l’ensemble $\bar{x} =\{ y \in E/ x \mathscr{R} y\}$ .

On appelle ensemble quotient de $E$ par $\mathscr{R}$ et on note $E / \mathscr{R}$ l’ensemble des classes d’équivalence.

Si $E$ est muni d’une loi interne $T$ , on dit que $\mathscr{R}$ est compatible avec $T$ si et seulement si :

$(x \mathscr{R} x' \land y \mathscr{R} y') \Rightarrow ( x T y ) \mathscr{R} ( x' T y')$

Il existe alors une unique loi interne $\bar{T}$ sur $E / \mathscr{R}$ définie par :

$\forall (X,Y ) \in (E / \mathscr{R})^2 ,\;\; \forall x \in X ,\;\; \forall y \in Y$ : $X\bar{T} Y =\phi (x T y)$ où $\phi$ est la surjection canonique de $E$ dans $E / \mathscr{R}$ .

Si $G$ est un groupe, toute relation d’équivalence $\mathscr{R}$ compatible à gauche avec la loi de $G$ est de la forme $x^{-1}y \in H$ où H est un sous-groupe de G.

Réciproquement toute relation de ce type est une relation d’équivalence.

Exemple $G=\mathfrak{S}_3$

$H=\{id,\tau_1\}$ est un sous groupe de G

Les classes à gauche sont:

$\bar{id}=id.H=\{id, \tau_1 \}$

$\bar{\tau_1}=\tau_1.H= \{\tau_1, id \}$

$\bar{\tau_2}=\tau_2.H= \{\tau_2, \sigma_1 \}$

$\bar{\tau_3}=\tau_3.H= \{\tau_3,\sigma_2 \}$

$\bar{\sigma_1}=\sigma_1.H= \{\sigma_1,\tau_2 \}$

$\bar{\sigma_2}=\sigma_2.H= \{\sigma_2,\tau_3 \}$

Et $G/H= \{\bar{id},\bar{\tau_2},\bar{\tau_3} \}$

Remarquons au passage qu’ici $\tau_2.\tau_1.\tau_2^{-1}=\tau_3 \notin H$

Pour qu’une telle relation d’équivalence soit compatible avec la loi de $G$ , H doit être distingué dans $G$ .

En effet :
Soient $g$ quelconque dans $G$ , $h$ quelconque dans $H$ . On a :

$\bar{h} = hH = H = \bar{1}$ ,
$\bar{gh} = (gh)H = g (hH) = gH = \bar{g}$ ,

donc, dans le cas où la relation $\mathscr{R}$ est compatible avec la loi . , on doit avoir:

$1 \equiv h$ et $gh \equiv g$
donc $(1) .(gh) \equiv (h) . (g)$ soit $gh \equiv hg$

$(gh)^{-1} (hg) \in H$

$h^{-1}g^{-1}hg \in H$

$h( h^{-1}g^{-1}hg) \in h H$

$g^{-1}hg \in H$
ceci pour tout $h$ dans $H$ , donc: $\forall g \in G, g^{-1}Hg \in H$ .

Et il est alors possible de munir $G / \mathscr{R}$ d’une structure de groupe …..

Exemple 1:

Ici $G=D_4$ , le groupe des isométries du cube.

$r$ est la rotation d’angle $\frac{\pi}{2}$ , $s_1$ et $s_2$ les symétries par rapport aux médianes des côtés et $t_1$ et $t_2$ les symétries par rapport aux diagonales du carré.

$H= \{id,r^2,s_1,s_2 \}$ est un sous groupe de G

Les classes à gauche sont:

$\bar{id}=id.H= \{id, r^2,s_1,s_2 \}$

$\bar{r}=r.H= \{r, r^3,t_2,t_1 \}$

$\bar{r^2}=r^2.H= \{r^2, id,s_2,s_1 \}$

$\bar{r^3}=r^3.H= \{r^3, r,t_2,t_1 \}$

$\bar{s_1}=s_1.H= \{s_1, s_2,id,r^2 \}$

$\bar{s_2}=s_2.H= \{s_2, s_1,r^2,id \}$

$\bar{t_1}=t_1.H= \{t_1,t_2,r,r^3 \}$

$\bar{t_2}=t_2.H= \{t_2, t_1,r^3,r \}$

$H$ distingué dans $D_4$

Et $G/H= \{\bar{id},\bar{r} \} \simeq \mathbb{Z}_2$

Exemple 2:

Ici $G=\mathbb{Q}_8$ , le groupe des quaternions, $G= \{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k \}$ , avec

$i^2=j^2=k^2=-1$ et $i.j=-j.i=k\; ;\; j.k=-k.j=i\; ; \;k.i=-i.k=j$ .

$H= \{1\; ;\; -1 \}$ qui est le centre de $G$ est un sous groupe distingué de G .

$\bar{1}=1.H=\{1\; ; -1\}$

$\bar{-1}=-1.H= \{1\; ; -1 \}$

$\bar{i}=i.H= \{i\; ; -i \}$

$\bar{-i}=-i.H= \{i\; ; -i \}$

$\bar{j}=j.H= \{j\; ; -j \}$

$\bar{-j}=-j.H= \{j\; ; -j \}$

$\bar{k}=k.H= \{k\; ; -k \}$

$\bar{-k}=-k.H= \{k\; ; -k \}$

Et $G/H= \{\bar{1},\bar{i},\bar{j},\bar{k} \}$

Dressons la table de $G/H$

(exemple de calcul : $\bar{j}.\bar{k}=\phi( -j.k)=\phi(-i)=\bar{i}$ ou $\bar{j}.\bar{i}=\phi( j.i)=\phi(-k)=\bar{k}$ )

Cette table étant la même que celle du groupe de Klein $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ , noté $V$ , on a $G/H\;\simeq \; V$

Exemple 3 :

On considère le groupe $\mathfrak{S}_4$ , il contient le sous-groupe $V = \{Id,\mu_1,\mu_2,\mu_3 \}$ avec $\mu_1=(12)(3;4)$ , $\mu_2=(1;3)(2;4)$ et $\mu_3=(1;4)(2;3)$ , qui est distingué dans $\mathfrak{S}_4$ .

En effet,

$\forall \sigma \in \mathfrak{S}_4$ : $\sigma \mu_1 \sigma^{-1} = \sigma(1,2)(3,4)\sigma^{-1} = \sigma(1,2)\sigma^{-1} \sigma(3,4)\sigma^{-1}$

$= (\sigma(1),\sigma(2))(\sigma(3),\sigma(4)) \in V$ , par exemple .

Le groupe quotient $\mathfrak{S}_4/ V$ est d’ordre 6 (car | $\mathfrak{S}_4$ | = 24 et |V| = 4). N’étant pas abélien il est donc isomorphe au seul groupe d’ordre 6 non abélien: $\mathfrak{S}_3$ .

Vérification (à la main…) :

$\mathfrak{S}_4$ contient :

Id,

6 transpositions: $\tau_1=(1;2)$ , $\tau_2=(1;3)$ , $\tau_3= (1;4)$ , $\tau_4 (2;3)$ , $\tau_5 (2;4)$ , $\tau_6 (3;4)$ ,

8 3-cycles: $\nu_1=(1;2;3)$ , $\nu_2= (1;2;4)$ , $\nu_3= (1;3;4)$ , $\nu_4= (1;3;2)$ , $\nu_5= (1;4;2)$ , $\nu_6= (1;4;3)$ , $\nu_7= (2;3;4)$ et $\nu_8=(2;4;3)$ ,

3 doubles transpositions : $\mu_1=(12)(3;4)$ , $\mu_2=(1;3)(2;4)$ , $\mu_3=(1;4)(2;3)$ ,

6 4-cycles : $\sigma_1(1;2;3;4)$ , $\sigma_2(1;2;4;3)$ , $\sigma_3(1;3;4;2)$ , $\sigma_4 (1;3;2;4)$ , $\sigma_5 (1;4;2;3)$ et $\sigma_6(1;4;3;2)$ ,

$\bar id= id .V = \{Id,\mu_1,\mu_2,\mu_3 \}$

$\bar \tau_1 = \tau_1 . V = \{ \tau_1, \tau_6,\sigma_4,\sigma_5 \}$

$\bar \tau_2= \tau_2 . V = \{ \tau_2, \sigma_1,\tau_5,\sigma_6 \}$

$\bar \tau_3= \tau_3 . V = \{ \tau_3, \sigma_2,\sigma_3, \tau_4 \}$

$\bar \tau_4= \tau_4 . V = \{ \tau_4, \sigma_3,\sigma_2, \tau_3 \}$

……

$\bar \nu_1= \nu_1 . V = \{ \nu_1, \nu_3,\nu_8, \nu_5 \}$

$\bar \nu_2= \nu_2. V = \{ \nu_2, \nu_6,\nu_4, \nu_7 \}$

$\bar \nu_3= \nu_3. V = \{ \nu_3, \nu_1,\nu_5, \nu_8 \}$

$\bar \nu_4= \nu_4. V = \{ \nu_4, \nu_7,\nu_2, \nu_6 \}$

……

$\bar \mu_1= \mu_1. V = \{ \mu_1, id ,\mu_3, \mu_2 \}$

$\bar \mu_2= \mu_2. V = \{ \mu_2, \mu_3,id, \mu_1 \}$

$\bar \mu_3= \mu_3. V = \{ \mu_3, \mu_2, \mu_1, id \}$

……

$\bar \sigma_1= \sigma_1. V = \{ \sigma_1, \tau_2 ,\sigma_6, \tau_5 \}$

$\bar \sigma_2= \sigma_2. V = \{ \sigma_2, \tau_3 ,\tau_4, \sigma_3 \}$

…………

$\mathfrak{S}_4/ V = \{ \bar id , \bar \tau_1 , \bar \tau_2 ,\bar \tau_3, \bar \nu_1 , \bar \nu_2 \}$

Dressons la table de $\mathfrak{S}_4/ V$ en effectuant les calculs suivants:

$\bar \tau_1.\bar \tau_1= \phi(\bar \tau_6.\bar\sigma_3)=\phi(\mu_3)=\bar id$

$\bar \tau_1.\bar \tau_2= \phi(\bar \sigma_4.\bar\tau_2)=\phi(\nu_2)=\bar \nu_2$

$\bar \tau_1.\bar \tau_3= \phi(\bar \sigma_6.\bar\tau_3)=\phi(\nu_1)=\bar \nu_1$

$\bar \tau_1.\bar \nu_1= \phi(\bar \tau_6.\bar\nu_5)=\phi(\sigma_3)=\bar \tau_3$

$\bar \tau_1.\bar \nu_2= \phi(\bar \sigma_5.\bar\nu_7)=\phi(\sigma_6)=\bar \tau_2$ etc…

…et le tableau obtenu est en tout point identique à celui de $\mathfrak{S}_3$

Si $E$ est un anneau , cherchons maintenant à munir $E / \mathscr{R}$ d’une structure d’anneau …..

Soit $(H,+)$ un sous groupe, distingué car $(E,+)$ est généralement abélien et $E/H$ le groupe quotient muni de la loi $\overline a +\overline b =\overline {a+b}$

On cherche à munir $E/H$ d’une loi $\times$ qui ferait de $(E/H, +, \times )$ un anneau.

Posons $\overline a \times \overline b =\overline {a\times b}$ , soient alors $x\in E$ et $h \in H$ .

Comme $\overline {x+ h} =\overline x$ et $\overline 0 =\overline h$ ,on doit avoir:

$\overline {(x+ h)\times 0} =\overline {x\times h}$ soit $\overline {xh} =\overline 0$ soit $xh \in H$

$\forall x \in E, xH \in H$ , et on aura de même $Hx \in H$ , un tel sous groupe est appelé idéal de E.

Vérifions que cette condition est suffisante:

$x \mathscr{R} x' \land y \mathscr{R} y' \Rightarrow x'-x=h_x \in H \land y'-y=h_y \in H$

$\overline{x'y'}= x'y'+H=( x+h_x)(y+h_y) + H=$

$xy+xh_y+h_xy+h_xh_y+H =xy +H=\overline{xy}$ ( car $xh_y+h_xy+h_xh_y \in H$ !)

Rappel

$\mathbb{C}$ a été construit comme $\mathbb{R} ^2$ muni des lois:

$(x;y) + (x';y') = (x + x';y + y')$

$(x;y)\times(x';y') = (xx'-yy';xy' + x'y)$ ,

Soit $K$ un corps commutatif. On considère l’anneau commutatif $K [X]$ des polynômes à coefficients dans $K$ , qui est euclidien.

L’ensemble $(P) = P. K [X]$ des polynômes multiples de $P$ étant un idéal de $K [X]$ , on peut considérer l’anneau quotient $K[X]/(P)$ , lui aussi euclidien (on peut utiliser la division euclidienne !), lequel est isomorphe à $(\overline{1},\overline{X},...,\overline{x^{d-1}})$ .