beaucoup de choses en peu de lignes

Soit la fonction définie sur $\mathbb{C}$ par: $\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}$ (1)

que nous appellerons fonction exponentielle, notée $e^z$ .

$\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{a^k}{k!}.\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{b^m}{m!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}$ en regroupant les termes suivant les valeurs croissantes de $n=k+m$

$=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(a+b)^n}{n!}$

ce qui s’écrira $\exp(a).\exp(b)=\exp(a+b)$

On définit alors le nombre $e$ comme étant $exp(1)$ .

a) Pour tout nombre complexe, $\exp(z)\neq 0$

En effet $e^z.e^{-z}=e^0=1$

b) $\exp'(z)=\exp(z)$

En effet $\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\;\frac{\exp(z+h)-\exp(z)}{h}=\exp(z)\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\;\frac{\exp(h)-1}{h}=\exp(z)$ d’après la définition de $\exp(z)$

c) La restriction de $\exp(x)$ à l’axe des réels est une fonction croissante

En effet cela est évident pour les nombres positifs, puis on utilise la relation $e^z.e^{-z}=1$ .

On aura aussi $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\exp(x)= +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\exp(x)=0$

d) Définition de $\cos(t)$ et de $\sin(t)$ :

Pour tout $t$ réel, on définit $\cos(t)$ et $\sin(t)$ comme le parties réelles et imaginaires de $e^{it}$ .

$\overline {e^{it}}=\overline {\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(it)^n}{n!}}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{{(\overline {it})^n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-it)^n}{n!}=e^{-it}}$

donc $|e^{it}|^2=e^{it}.\overline {e^{it}}=e^{it}.e^{-it}=e^0=1$ donc $|e^{it}|=1$ , $e^{it}$ appartient au cercle unité

et on pose $e^{it}=\cos t + i \sin t$ avec $\cos ^2 t + \sin^2 t=1$ En dérivant l’égalité ci-dessous on obtient : $i e^{it}=i \cos t - \sin t =\cos' t + i \sin' t$

$\cos t=\mathscr{Re}(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(it)^n}{n!})=1-\dfrac{t^2}{2!}+\dfrac{t^4}{4!}-\dfrac{t^6}{6!}...$ (2)

e) Définition du nombre $\pi$ :

Il existe un nombre positif noté $\pi$ tel que $e^{\frac{i\pi}{2}}=i$ .

La relation (2) ci-dessus donne $\cos(2)\leq -\dfrac{1}{3}$ or $\cos(0)=1$ et la fonction cosinus étant continue, on en déduit qu’il existe un plus petit nombre positif $t_0$ tel que $\cos(t_0)=0$ posons par définition :

$\pi= 2t_0$

On a donc $\sin(t_0)=\pm 1$ or $\sin' t=\cos t \geq 0$ sur $[0;t_0]$ et $\sin 0=0$ on aura $\sin(t_0)\geq 0$ et donc finalement $\sin(t_0)=1$ puis $e^{\frac{i\pi}{2}}=i$