Birapport (partie 2) | MATHEMATIQUES

La division harmonique

Soient $A,B,C,D$ quatre points distincts d’une droite projective .

On dit que ces points forment une division harmonique si on a
$[A,B,C,D] = -1$ . (*)

$C$ et $D$ divisent alors le segment $[AB]$ dans le même rapport.

La formule $[a,b,c,d]=\dfrac{\dfrac{1}{\overline{ab}}-\dfrac{1}{\overline{ad}}}{\dfrac{1}{\overline{ab}}-\dfrac{1}{\overline{ac}}}$ obtenue dans la partie 1 donne alors si $[a,b,c,d]=-1$ :

$\overline{ab}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{\overline{ac}}+\dfrac{1}{\overline{ad}}}$

la longueur $AB$ est la moyenne harmonique des longueurs $AC$ et $AD$ .

Soit $m$ un point quelconque et $(a,b,c,d)$ une division harmonique.

$ac=mc-ma$ , $ad=md-ma$ etc.. et la relation * devient alors:

$ma.bc+mb.ad+mc.db+md.ca=0$

Ce qui s’écrit avec $\alpha$ milieu de [ $ab$ ] et $O$ milieu de [ $cd$ ]:

$ma.mb+mc.md=2m\alpha.mO$

Posons $m=\alpha$ cette relation devient $\alpha a.\alpha b+\alpha c.\alpha d=0$ et comme $\alpha a=-\alpha b$

$\alpha a^2=\alpha c.\alpha d$

Posons $m=c$ et cette relation devient $ca.cb=2c\alpha.cO=c\alpha.cd$

Soit « le produit des distances à $c$ est égale au produit de la moyenne harmonique ( $cd$ !) par la distance moyenne ( $c\alpha$ !) »

Voir l’ANNEXE à la fin de l’article pour les situations les plus classiques de rapport harmonique.

Retour sur la division homographique

Soient $a,b,c,d$ quatre points de $D$ et $a',b',c',d'$ quatre points de $D'$ , ces deux droites sont divisées homographiquement si et seulement si $[a,b,c,d]=[a',b',c',d']$ .

On a alors: $\dfrac{ab.cd}{a'b'}+\dfrac{ac.db}{a'c'}+\dfrac{ad.bc}{a'd'}=0$

Soit $m$ un pont quelconque et $m'$ sont correspondant, on a alors $\dfrac{am}{bm}=\lambda \dfrac{a'm'}{b'm'}$ .

Soit $m'=\infty$ et $I$ son correspondant $\dfrac{aI}{bI}=\lambda$ et de même si $m=\infty$ , en nommant $J'$ son correspondant, la division homographique s’exprime sous la forme :
$Im.J'm'=cte ...=-b'a'.aI=-ab.b'J'$ et finalement la relation ci-dessous exprime la division homographique de deux droites:
$am.b'm'-am.b'J'-b'm'.aI+aI.b'a'=0$

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Supposons maintenant que les droites sont positionnées de telle sorte que $a=b'$
Les points doubles ( $m=m'$ ) sont les solutions d’une équation du type:

$am^2+(\lambda+\mu)am+\nu=0$

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…et le milieu des points doubles coïncide avec le milieu de $[IJ']$ et en désignant par O ce point milieu cette équation devient:

$am^2-2aO.am+aI.aa'=0$

Si on choisit comme origine le point $a=O$ cette équation devient $Om^2-OJ'.OO'=0$

de sorte que les points doubles se situent de part et d’autre du point O à des distances égales à $\sqrt{OO'.OJ'}$

Quand $O'$ et $J'$ ne se trouvent pas du même côté de $O$ , les points doubles sont imaginaires.

Si l’un des points doubles est à l’ $\infty$ on a alors $\dfrac{ae}{a'e}=\dfrac{ab}{a'b}$ et la construction suivante permet d’obtenir très simplement le point double:
On considère l’intersection $g$ des deux cercles circonscrits aux triangles $gab'$ et $ga'b$ , $g$ étant quelconque, ces deux cercles se recoupent en $g'$ et la corde $[gg']$ passera par le point double .

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La division homographique de deux droites pourra s’écrire de différentes manières:

$am.b'm'-aI. mm'+\lambda=0$ ( $b'J=-aI)$

$am.b'm'-\gamma mm'+\lambda=0$

$Om^2-Im. mm'+\lambda=0$

Involution:
Trois couples $(a,a')$ , $(b,b')$ et $(c,c')$ de points sont dits en involution si le birapport de quatre quelconque d’entre eux est égale au birapport de leur conjugué.
Exemple $[a,b,c,b']=[a',b',c',b]$
On a alors $\dfrac{ab.ab'}{ac.ac'}=\dfrac{a'b.a'b'}{a'c.a'c'}$
ou écrit différemment: $ab'.b'c.ca'=-a'b.b'c.c'a$

Si $c$ est à l’infini et soit $O$ sont conjugué, on a alors:

$\dfrac{Oa}{Ob}=\dfrac{Ob'}{Oa'}$ ou $\dfrac{Oa'}{Ob}=\dfrac{a'b'}{ba}$

On appelle point double tout point coïncidant avec son conjugué,
On a alors $\dfrac{ab.ab'}{a'b.a'b'}=\dfrac{ac^2}{a'c^2}$
on appelera $e$ et $f$ les deux solutions mais alors:
$\dfrac{ae}{a'e}=-\dfrac{af}{a'f}$ ce qui signifie que $e$ et $f$ divisent harmoniquement $[aa']$ et $[bb']$ .

Si les trois couples $(a,a')$ , $(b,b')$ et $(c,c')$ sont en involution ainsi que $(a,a')$ , $(b,b')$ et $(d,d')$ alors $(a,a')$ , $(c,c')$ et $(d,d')$ le sont aussi donc si $(a,a')$ , $(b,b')$ et $(c,c')$ sont en involution, $Oa.Oa'=Ob.Ob'=Oc.Oc'$ . Et nous appellerons point central ce point remarquable .

Deux segments $[a,a']$ et $[b,b']$ étant placés sur une droite $\delta$ , la droite joignant les points d’intersection des deux cercles de diamètres $[a,a']$ et $[b,b']$ coupe $\delta$ en $O$ .

Si les deux segments n’empiètent pas l’un sur l’autre, on utilisera un point g quelconque et la droite joignant les deux points d’intersection des cercles circonscrits aux triangles $gaa'$ et $gbb'$ coupe la droite $(ab)$ en $O$ .

…autrement dit, les trois cercles ayant pour diamètres trois segments en involution passent par deux même point.

…ou encore, les segments définis par la rotation d’un angle droit autour d’un point fixe sur une droite quelconque sont en involution.

Notons pour finir que si $(a,a')$ , $(b,b')$ et $(c,c')$ sont en involution les deux points doubles définis ci-dessus divisent harmoniquement les trois segments $[a,a']$ , $[b,b']$ et $[c,c']$ et que ces deux points se situent à égale distance du point central.

Construction des points doubles:

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Soient deux couples $(a,a')$ et $(b,b')$ de points conjugués, et $c$ un cinquième point, soit $g$ un point extérieur et $g'$ le deuxième point d’intersection des cercles circonscrits aux triangles $gaa'$ et $gbb'$ , le cercle circonscrits au triangle $gg'c$ recoupera la boite $(ab)$ en $c'$ , sixième point de l’involution.

Si les trois couples $(a,a')$ , $(b,b')$ et $(c,c')$ sont en involution, soit un $m$ un point quelconque sur la même droite, on aura avec les milieux $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ des segmenst $[a,a']$ , $[b,b']$ et $[c,c']$ l’équation:

$ma.ma'.\beta \gamma+mb.mb'.\gamma \alpha+mc.mc'.\alpha \beta =0$

Avec $c'$ à l’infini, le point $c$ sera le point central et l’équation ci-dessus devient:

$ma.ma'-mb.mb'+2mc.mc'.\alpha \beta mO =0$

ANNEXE

Voici quelques configurations classiques de rapports harmoniques:

$\bullet$ Dans un trapèze, la droite parallèle à la base passant par le point d’intersection des diagonales coupe les côtés en $I$ et $J$ et la longueur $IJ$ est la moyenne harmonique des longueurs des bases.

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$\bullet$ Soit $d$ une droite issue de $A$ coupant $d_1$ en $C$ , $d_2$ en $D$ et la polaire de A par rapport aux droites $d_1$ et $d_2$ en $B$ , alors $[A,B,C,D] = -1$

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$\bullet$ Les bissectrices de l’angle $\widehat{AEB}$ coupent $(AB)$ en $C$ et $D$ et alors $[A,B,C,D] = -1$

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$\bullet$ Soit $d$ une droite issue de $A$ coupant l’éllipse en $C$ et $D$ et la polaire de A en $B$ , alors $[A,B,C,D] = -1$

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$\bullet$ $MNOP$ un quadrilarère, $C$ et $D$ les points d’intersection des diagonales avec la droite $(AB)$ définie par les points d’intersection des côtés opposés, alors $[A,B,C,D] = -1$

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Une journée sans Maths …