Un lancer de pièce peut être représenté par un segment unité du quadrillage ci-dessous, dirigé toujours dans le sens des coordonnées croissantes : par exemple, Pile correspond à un vecteur unité parallèle à et Face à un vecteur unité parallèle à . Dans ces conditions, une partie quelconque sera représentée par un chemin d’origine , terminé en un certain point , et tel qu’on se déplace toujours dans le sens positif des axes.

Si sont les coordonnées de l’extrémité , est le nombre de coup de la partie, le nombre de coups gagnés, et le nombre de coups perdus.

 

Le nombre de chemin possibles entre et , qui n’est autre que le nombre de parties possibles, qui se terminent avec coups gagnés et coups perdus, est :  .

A tout chemin, qui coupe en un certain point , correspond le chemin obtenu en remplaçant la portion qui joint à   par sa figure symétrique par rapport  à . Si le premier chemin débute par , le deuxième débute par . Il existe donc autant de chemins qui rencontrent en passant par que de chemins qui rencontrent en passant par , or si est au-dessous de , tout chemin qui commence par coupe nécessairement avant d’atteindre .

Le nombre de chemins joignant   à est donc et le nombre de chemins qui vont de vers sans rencontrer est .

La probabilité pour qu’un joueur ayant gagné une partie par coups gagnés et coups perdus ait été constamment en tête sera donc .

Le point précédent peut être reformulé ainsi : Deux candidats A et B ont obtenu respectivement et voix (m n). La probabilité pour que, pendant le dépouillement, A ait eu constamment la majorité est  .

 

Etudions maintenant les parties nulles.

L’extrémité M, de coordonnées () est sur (OA) et le nombre de chemins possibles est :; Cherchons alors le nombre de chemins qui ne rencontrent pas (OA) entre leurs deux extrémités O et M. Autrement dit , si deux joueurs conviennent de s’arrêter de jouer dès que se produit l’égalité, combien de parties distinctes se terminent au coup ?

Le chemin doit rester d’un même côté de (OA). Si c’est au dessous, le coup conduit au point M’ de coordonnées () et les chemins cherchés sont donc ceux qui aboutissent en M’ sans rencontrer (OA).

a) Exprimer en fonction de le nombre de chemins joignant O à M sans rencontrer (OA).

b) En déduire la probabilité pour qu’une partie dure coups, si l’on a décidé de s’arrêter dès la première égalité.

c)Si nous convenons d’arrêter le jeu dès que se produit la première égalité, quelle semble être la durée moyenne de la partie?