A propos de Paraboles 2 | MATHEMATIQUES

Surface d’équilibre d’un liquide tournant.

La vitesse de rotation étant constante, la surface du liquide est stable et donc la résultante des forces agissant sur une petite masse $m$ de liquide situé à la distance $x$ de l’axe doit être perpendiculaire à la tangente à la courbe au point considéré.

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on aura donc : $\tan \alpha=\tan \theta$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{mw^2x}{mg}$

$dy=\dfrac{w^2x}{g} dx = K x dx$

et finalement $y=\dfrac{Kx^2}{2} + C$ …ce qui correspond à l’équation d’une parabole d’axe vertical !

Le miroir parabolique..

Trouver le profil d’un réflecteur tel que tous les rayons issus d’une source ponctuelle $O$ soient réfléchis sous forme d’un faisceau parallèle à l’axe $Ox$ .

Soit $T$ le point d’intersection de la tangente au point $M$ de la courbe cherchée avec l’axe des abscisses.

Les angles d’incidence et de réflexion devant être égaux, les angles $\alpha$ et $\phi$ le sont aussi et donc $mes \widehat{MOT}=\pi-2\alpha$

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On a alors :

$\tan \widehat{xOM}= \tan 2\alpha=\dfrac{2 \tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}$

or $\tan \widehat{xOM}=\dfrac{y}{x}$ et $\tan \alpha = \dfrac{dy}{dx}=y'$

On obtient alors l’équation suivante : $\dfrac{y}{x}=\dfrac{2 y'}{1-y'^2}$ ou encore $2x= y.\dfrac{1}{y'}-yy'$

Cette équation différentielle peut être résolue grâce à une dérivation par rapport à $y$ , soit :

$2\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{y'}-y\dfrac{1}{y'^2}.\dfrac{dy'}{dy}-y'-y\dfrac{dy'}{dy}$ , d’ où l’on tire $\dfrac{dy'}{y'}=-\dfrac{dy}{y}$ .

Soit $\ln y'=-\ln y +\ln C$ et $y'=\dfrac{C}{y}=\dfrac{dy}{dx}$ puis $y dy= C dx$ et finalement en intégrant une deuxième fois $y^2=2C x+ 2K$

Comme pour $x=0$ , $\alpha =\dfrac{\pi}{4}$ , on obtient $C^2=2 K$
et finalement l’équation cherchée est $y^2=2C x + C^2$ , qui correspont à une famille de paraboles d’axe $Ox$ et de foyer $O$ .

La chainette :

On appelle chainette la courbe prise par une corde souple attachée à ses deux extrémités et qui pend sous l’action de son poids.

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Considérons le tronçon $AM$ , soumis à trois forces $\overrightarrow{F}$ , $\overrightarrow{T}$ et $\overrightarrow{P}=pl$ en appelant $p$ le poids par unité de longueur et $l$ la longueur $AM$ .