Construction de Z | MATHEMATIQUES

$( \mathbb{N} , + )$ est un semi-groupe commutatif. ( + est une loi associative et tout élément de $\N$ est régulier.)

Sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ , on définit une addition, notée $\oplus$ et une relation d’équivalence $\mathscr{R}$ ainsi :

$(x;y)\oplus(x';y')= (x+x';y+y')$ et $(x;y) \mathscr{R}(x';y') \Longleftrightarrow x+y'=x'+y$

La relation $\mathscr{R}$ est compatible avec l’addition sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ .

Exemple :

$(2;5) \mathscr{R}(3;6)$ , $(7;1) \mathscr{R}(10;4)$

$(2;5)\oplus(7;1)=(9;6)$ , $(3;6)\oplus(10;4)=(13;10)$

et $(9;6)\mathscr{R}(13;10)$

On peut alors munir l’ensemble $( \mathbb{N} \times \mathbb{N} ) / \mathscr{R}$ que nous noterons désormais $\mathbb{Z}$ d’une loi quotient, notée $\bar{\oplus}$ .

Exemple:

$\overline{(5;0)}=\{(5;0), (6;1), (7;2), (8;3) , (9;4), ….\}$ , $\overline{(0;3)}=\{(0;3), (1;4), (2;5), (3;6) , (4;7), ….\}$

$\overline{(5;0)}\bar{\oplus}\overline{(0;3)}$ =

$\left{\begin{array}{cl} \;\; \phi((6;1)\oplus(3;6))=\phi(9;7)\ \text{ou}\;\; \phi((8;3)\oplus(4;7))=\phi(12;10)\ \end{array}\right.$

et $\phi(9;7)=\phi(12;10)=\overline{(2;0)}$

où $\phi$ est la surjection canonique de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ dans $( \mathbb{N} \times \mathbb{N} ) / \mathscr{R}$ .

Remarque : $\overline{(0;0)}$ est l’élément neutre pour $\bar{\oplus}$ .

Soit $f$ : $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}$ définie par $f(n)=\phi(n+k,k)$ . $f$ est un morphisme:

$f(n)\bar{\oplus}f(n')= \phi(n+k;k)\bar{\oplus}\phi(n'+l;l)$
= $\phi((n+k;k)\oplus (n'+l;l))$

= $\phi(n+k+n'+l ; k+l)$ = $f(n+n')$

…. et $f$ est injective :

$f(n)=f(n') \Longleftrightarrow \phi(n+k ; k)=\phi(n'+l ; l)$ soit $(n+k ; k) \mathscr{R}(n'+ l ; l)$

$\Longleftrightarrow (n+k)+l =k+(n'+l) \Longleftrightarrow n=n'$

$\mathbb{N}$ isomorphe à $f( \mathbb{N} ) ={\phi(n;0) , n \in \mathbb{N} }$ = $\overline{(n;0)}$ que nous noterons désormais $n$ .

Les éléments de $\mathbb{Z} \setminus f( \mathbb{N} )$ = ${\phi(0;n) , n \in \mathbb{N} }$ seront eux notés $-n$ .

Notons aussi désormais $\bar{\oplus}$ simplement +.

$( \mathbb{Z} , + )$ est un groupe commutatif.

Sur $( \mathbb{N} \times \mathbb{N} , \mathscr{R})$ , on définit maintenant l’opération $\otimes$ ainsi:

$(x;y)\otimes (x'; y') = (xx'+yy'; xy'+yx')$

La relation $\mathscr{R}$ est compatible avec $\otimes$ sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ .

Exemple :

$(2;5) \mathscr{R}(3;6)$ , $(7;1) \mathscr{R}(10;4)$

$(2;5)\otimes(7;1)=(19;37)$ , $(3;6)\otimes(10;4)=(54;72)$

et $(19;37)\mathscr{R}(54;72)$

On peut alors munir l’ensemble $( \mathbb{N} \times \mathbb{N} ) / \mathscr{R}$ de la loi quotient, notée $\bar{\otimes}$ .

$\overline{(x;y)}\bar{\otimes} \overline{(x';y')} =\phi((x;y)\otimes(x';y')$ .

Exemple :

$\overline{(5;0)}\bar{\otimes}\overline{(0;3)}= \phi((6;1)\otimes(3;6))=\phi(24;39)=\overline{(0;15)}$

Remarque : $\overline{(1;0)}$ est l’élément neutre pour $\bar{\otimes}$ .

$\bar{\otimes}$ est distributive par rapport à $\bar{\oplus}$ .

Exemple:

$\overline{(5;0)}\bar{\otimes}(\overline{(7;0)}\bar{\oplus} \overline{(0;3)})=$ $\overline{(5;0)}\bar{\otimes}\phi((9;2)\oplus (3;6))=$

$\overline{(5;0)}\bar{\otimes}\phi(12;8)=$ $\overline{(5;0)}\bar{\otimes}\overline{(4;0)}=$

$\phi((7;2)\otimes (6;2))$ $\phi(42;26)$ = $\overline{(20;0)}$

$\overline{(5;0)}\bar{\otimes}\overline{(7;0)}\bar{\oplus} \overline{(5;0)}\bar{\otimes} \overline{(0;3)}=$

$\phi((7;2)\otimes(8;1))\bar{\oplus} \phi((8;3)\otimes(2;5))=$ $\phi(58;23)\bar{\oplus} \phi(31;46)=$

$\overline{(35;0)}\bar{\oplus}\overline{(0;15)}=$ $\phi((37;2)\oplus (4;19))=$ $\phi(41;21)=\overline{(20;0)}$

Remarquons au passage que
$\overline{(0;n)}\bar{\otimes}\overline{(0;n')}=\overline{(nn';0)}$ , en effet:

$\overline{(0;n)}\bar{\otimes}\overline{(0;n')}=$

$\phi((k;n+k)\otimes (l; n'+l))=$

$\phi(kl+(n+k)(n'+l);k(n'+l)+l(n+k))=$

$\phi(nn'+2kl+ln+kn';2kl+ln+kn')=$

$\phi(nn'+K;K)= \overline{(nn';0)}$

Intégrité:

Supposons $\overline{(x;y)}\bar{\otimes}\overline{(x';y')}=\overline{(0;0)}$

$\overline{(x;y)}\bar{\otimes}\overline{(x';y')}$ = $\phi((x;y)\otimes (x';y'))=$

$\phi(xx'+yy';xy'+yx')=$ $\overline{(0;0)}$

$\Longleftrightarrow xx'+yy'=xy'+yx'$

$\Longleftrightarrow x(x'-y')=y(x'-y')$

$\Longleftrightarrow$ { $\left{\begin{array}{cl} x=y\;\;, \overline{(x;y)}=\overline{(0;0)}\ \;\;\;\;\text{ou}\ x'=y'\;\;, \overline{(x';y')}=\overline{(0;0)}\ \end{array}\right.$ }

Notons désormais $\bar{\otimes}$ simplement $\times$ et :

$( \mathbb{Z} ,+,\times)$ est un d’anneau intègre.

Une journée sans Maths …