géométrie projective: Exemple de calculs

Résumé:
$\bullet$ On se donne
une forme linéaire non nulle $T \in E^*$ et on considère l’hyperplan vectoriel $E_{\infty}$ défini par T. On pose $P(E_{\infty}) =D_{\infty}$ (c’est un hyperplan projectif) et $X = P(E )\setminus D_{\infty }$

L’application qui à $\overrightarrow{u} \in E_{\infty}$ et $\bar{x}\in X$ associe $\overrightarrow{u}.\bar{x} = \overline{x + T(x)\overrightarrow{u}}$ est bien définie. C’est une opération de $E_{\infty}$ sur X , simplement transitive, de sorte qu’elle fait de $X$ un espace affine sous $E_{\infty}$ .
Si $\bar{a}$ , $\bar{b}$ sont deux points de X, le vecteur $\overrightarrow{ab}$ est le vecteur de $E_{\infty}$ défini par $\overrightarrow{ab}=\dfrac{b}{T(b)}-\dfrac{a}{T(a)}$ , il est indépendant du choix des représentants des points.

Situation 1 (T=x+y+z)
Soit $a(0,1,1)$ et $b(2,0,1)$ , $\overrightarrow{ab}=(\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{6})$

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Soient $\bar a , \bar b$ deux points de $P(E)$ , la formule $(a \wedge b)(c)=[a,b,c]$ définit une forme linéaire sur $E^*$ qui est une équation de $(\bar a \bar b)$

Pour $f,g$ dans $E^*$ , le vecteur $f\wedge g$ de $E$ défini par la formule $h(f\wedge g) = [f,g,h]$ aura pour image dans $P(E)$ le point d’intersection des deux droites définies par $f$ et $g$ .

Une formule fondamentale : $(a\wedge b)\wedge(c\wedge d) = [a,c,d]b-[b,c,d]a$ .

$\bullet$ On appelle droite affine la trace sur $X$ d’une droite projective distincte de $D_{\infty}$ . Une telle droite $D$ est l’image d’un plan vectoriel $V$ de E, distinct de $E_{\infty}$ . La droite vectorielle associée est l’intersection
$\overrightarrow{D} = E_{\infty}\cap V$ et son image dans $D_{\infty}$ est l’unique point à l’infini de $D$ (appelé $\underline{\text{direction}}$ de D).

Situation 1 (T=x+y+z)
Soit $a(0,1,1)$ et $b(2,0,1)$
$a\wedge b$ donne l’équation de $(ab)$ soit $x+2y-2z=0$ , et pour déterminer la direction ,comme :

$(1,2,-2)\wedge(1,1,1)=(4,-3,-1)$ , la direction de $(ab)$ sera le point de $D_{\infty}$ $(-4,3,1)$ ,

Deux droites $D$ et $D'$ sont dites parallèles si les droites projectives associées ont même point à l’infini.
Soit $T$ l’équation de $D_{\infty}$ et $F$ , $G$ les droites d’équations $f$ et $g$ . Les droites $F$ , $G$ sont parallèles si et seulement si on a $T(f \wedge g) = 0$ .

Si f est une forme définissant une droite $F$ et si a, b sont deux points, les droites $F$ et (ab) sont parallèles si et seulement si on a $T(b)f(a) = T(a)f(b)$ .

$\bullet$ Dans le plan affine, on peut définir (indépendamment de toute structure métrique) la $\underline{ \text{mesure}\; \text{algébrique}}$ d’un vecteur de direction donnée.

On suppose qu’on s’est donné une équation $f \in E^*$ de $V$ . Alors, le vecteur $\overrightarrow{i} = f \wedge T$ est un vecteur non nul de $\overrightarrow{D }$ (qu’on appelle un $\underline{ \text{vecteur}\; \text{directeur}}$ de D), et si a, b sont deux points de $D$ , on appelle mesure algébrique du vecteur $\overrightarrow{ab}$ relativement à $\overrightarrow{i}$ le nombre $\lambda=\overline{ab}$ défini par la formule : $\overrightarrow{ab}=\lambda \overrightarrow{i}$

Exemples : situation 1 ( $x+y+z=0$ )

Calcul du birapport: (voir article du même nom)

Soient $\bar a (1,1.5,1)$ , $\bar b(3,2.5,1)$ , $\bar c(4,3,1)$ , $\bar d (8,5,1)$ , quatre points de la droite $D$ image d’un plan vectoriel $V$ d’équation $x-2y+2z=0$ , $(f)$ .

Méthode 1 : (la plus courante)

$[a,b,c,d]=\dfrac{\overline{ac}}{\overline{ad}}\div\dfrac{\overline{bc}}{\overline{bd}}$

Méthode 2 : Si $V$ est muni d’une base $e_1$ , $e_2$ , et si les vecteurs image de ces points ont pour coordonnées respectives $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix}$ dans cette base, on a aussi :

$[a,b,c,d]=\dfrac{\begin{bmatrix}c_1 & a_1 \\c_2 & a_2\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}d_1 & b_1 \\d_2 & b_2\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}c_1 & b_1 \\c_2 & b_2\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}d_1 & a_1 \\d_2 & a_2\end{bmatrix}}$

Méthode 3 : (Très pratique )

Si $f$ et $g$ sont les équations de deux droites passant par $c$ et $d$ , alors:

$[a,b,c,d]=\dfrac{f(a)g(b)}{f(b)g(a)}$

Vérification :

$(f \wedge T)=(-2\times(1)-1\times 2,-(1\times 1 - 1\times 2), 1 \times1-1\times(-2))$ et $\overrightarrow{i}(-4,1,3)$ est un vecteur directeur de $D$ .

$\overrightarrow{ac}=\dfrac{c}{T(c)}-\dfrac{a}{T(a)}=\dfrac{1}{8}(4,3,1)-\dfrac{1}{3.5}(1,1.5,1)$

$=(\dfrac{12}{56},\dfrac{-3}{56}, \dfrac{-9}{56})=-\dfrac{3}{56}\overrightarrow{i}$

donc $\overline{ac}=-\dfrac{3}{56}$

$\overrightarrow{bd}=\dfrac{d}{T(d)}-\dfrac{b}{T(b)}=\dfrac{1}{14}(8,5,1)-\dfrac{1}{6.5}(3,2.5,1)$

$=(\dfrac{20}{182},\dfrac{-5}{182}, \dfrac{-15}{182})=-\dfrac{5}{182}\overrightarrow{i}$

donc $\overline{bd}=-\dfrac{5}{182}$

On aura aussi , $\overline{ad}=-\dfrac{7}{98}$ et $\overline{bc}=-\dfrac{1}{104}$ et pour finir:

$[a,b,c,d]=\dfrac{-\dfrac{3}{56}}{-\dfrac{7}{98}}\div\dfrac{-\dfrac{1}{104}}{-\dfrac{5}{182}}=\dfrac{15}{7}$

Pour la méthode 2 on choisit $e_1(2,1,0)$ , $e_2(-2,0,1)$ comme base de $V$

Considérons maintenant les vecteurs, $a(1,1.5,1)$ image de $\bar a$ , $a$ a pour coordonnées dans ( $e_1$ , $e_2$ ), $\begin{pmatrix} 1.5 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $b$ aura pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2.5 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $c$ $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $d$ $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

donc $[a,b,c,d]=\dfrac{\begin{bmatrix}3 & 1.5 \\1& 1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}5 & 2.5 \\1 & 1\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}3 & 2.5 \\1& 1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}5 & 1.5 \\1 & 1\end{bmatrix}}=\dfrac{1.5 \times 2.5}{3.5 \times 0.5}=\dfrac{15}{7}$ !

Pour illustrer la méthode 3, on choisit (au hasard ?) $f: x+2y-10z=0$ et $g:x-y-3z=0$

on a bien $f(c)=g(d)=0$ et

$[a,b,c,d]=\dfrac{f(a)g(b)}{f(b)g(a)}$

$=\dfrac{(-6)\times(-2.5)}{(-2) \times(-3.5)}=\dfrac{15}{7}$ .

Un autre exemple: parmi les applications projectives par excellence on trouve les incidences et les perspectives:

Soit $D$ une droite de $P(E$ ) et $m$ un point de $P(E)$ , avec $m \notin D$ .

On appelle incidence l’ application $i : m^ * \rightarrow D$ qui à une droite $d$ passant par $m$ , associe l’unique point d’ intersection de $d$ et de $D$ , montrons à travers un exemple que cette application est une homographie.

Soit $m(3,2,1)$ et $D:x+y-8z=0$ , $d$ a pour équation $\alpha x+\beta y +\gamma z=0$ avec $3\alpha + 2\beta +\gamma =0$ soit $d: \alpha x+\beta y + (-3\alpha-2\beta)z=0$

Prenons $e_1^* (1,0,-3)$ et $e_2^*(0,1,-2)$ comme base de $m^ *$ , et $e_1 (3,5,1)$ et $e_2(6,2,1)$ comme base de $V$ dont $D$ est l’image, le point d’ intersection de $d$ et de $D$ est donné par le calcul $(D\wedge d)$

$=(1\times(-3\alpha-2\beta)-\beta\times (-8),-(1\times (-3\alpha-2\beta) - \alpha\times (-8)), 1 \times\beta-1\times\alpha)$

$=(-3\alpha+6\beta, -5\alpha+2\beta, \beta-\alpha)$ = $-\alpha e_1 +\beta e_2$

…puis les coordonnées exactes du point d’intersection seront $=(\dfrac{-3\alpha+6\beta}{ \beta-\alpha},\dfrac{ -5\alpha+2\beta}{\beta-\alpha}, 1)$

Exemple, avec $d:2x-y-4z=0$ , $(\alpha=2,\beta=-1)$ , les coordonnées du point cherché sont :

$(\dfrac{-6-6}{ -3},\dfrac{ -10-2}{-3}, 1)=(4,4,1)$ !

$i$ est bien une homographie car $i(\bar x)=\bar {u(x)}$ où $u$ est l’application linéaire de $m^*$ dans $V$ définie par
$u(\alpha e_1 ^*+\beta e_2 ^*)$ = $-\alpha e_1 +\beta e_2$ .

On appelle perspective de centre $m$ de $D$ sur $D_0$ .l’application $p_m$ : $D\rightarrow D_0$ qui à $x \in D$ associe l’unique point d’ intersection de $(mx)$ et de $D_0$ , montrons à travers un exemple que cette application est une homographie.

$D=x-y+z=0$ , $D_0:x-2y+8z=0$ et $m(2,1,1)$ .

Prenons $u (1,1,0)$ et $v(1,0,-1)$ comme base de $V$ dont $D$ est l’image , et $u' (8,0,-1)$ et $v'(8,4,1)$ comme base de $V'$ dont $D_0$ est l’image

Soit $x$ un point de $D$ et $\alpha u+ \beta v$ son image dans $V$ , $(mx)$ aura pour équation $(m\wedge x)$

$=(1\times(-\beta)-1\times \alpha,-(2\times (-\beta) - 1\times (\alpha +\beta)), 2\times\alpha-1\times (\alpha +\beta))$

$=(-\alpha-\beta, \alpha+3\beta, \alpha-\beta)$

Puis on calcule $(mx \wedge D_0)$ et on obtient $=(10\alpha+22\beta, 9\alpha+7\beta,\alpha-\beta)$ = $-\dfrac{10\alpha+22\beta}{8} u' +\dfrac{9\alpha+7\beta}{8} v'$

…puis les coordonnées exactes du point d’intersection seront $=(\dfrac{10\alpha+22\beta}{ \alpha-\beta},\dfrac{ 9\alpha+7\beta}{\alpha-\beta}, 1)$

$p_m$ est bien une homographie car $p_m(\bar x)=\bar {u(x)}$ où $u$ est l’application linéaire de $V$ dans $V'$ définie par
la matrice $\begin{pmatrix} -\frac{10}{8} & -\frac{22}{8} \\ \frac{9}{4} & \frac{7}{4} \end{pmatrix}$

Remarque , on aurait pu remarquer qu’une perspective n’est rien d’autre que la composée de deux incidences…

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