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Construction de Z

$( \mathbb{N} , + )$ est un semi-groupe commutatif. ( + est une loi associative et tout élément de $\N$ est régulier.)

Sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ , on définit une addition, notée $\oplus$ et une relation d’équivalence $\mathscr{R}$ ainsi :

$(x;y)\oplus(x';y')= (x+x';y+y')$ et $(x;y) \mathscr{R}(x';y') \Longleftrightarrow x+y'=x'+y$

La relation $\mathscr{R}$ est compatible avec l’addition sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ .

Exemple :

On appelle ensemble naturel tout ensemble non vide et ordonné $X$ qui vérifie les trois axiomes :

$A_{1}$ ) Toute partie non vide a un plus petit élément ;

$A_{2}$ ) Toute partie non vide et majorée a un plus grand élément ;

$A_{3}$ ) $X$ n’a pas de plus grand élément.

Etant donnés deux ensembles naturels, il existe un, et un seul isomorphisme d’ensembles ordonnés de l’un sur l’autre.

L’isomorphisme ci-dessus permet d’« identifier » tous les ensembles naturels à l’un d’eux, que nous noterons $\mathbb{N}$