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A propos de quotients

On appelle relation d’équivalence sur un ensemble E toute relation binaire sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.

Une telle relation \mathscr{R} peut se noter x\;\equiv y \;(\text{modulo} \mathscr{R} ).

Soit \mathscr{R} une relation d’équivalence sur un ensemble E, on appelle classe d’équivalence de x l’ensemble \bar{x} =\{ y \in E/ x \mathscr{R} y\}.

On appelle ensemble quotient de E par \mathscr{R} et on note E / \mathscr{R} l’ensemble des classes d’équivalence.

Si E est muni d’une loi interne T, on dit que \mathscr{R} est compatible avec T si et seulement si :

(x \mathscr{R} x' \land y \mathscr{R} y') \Rightarrow ( x T y ) \mathscr{R} ( x' T y')

Il existe alors une unique loi interne \bar{T} sur E / \mathscr{R} définie par :

\forall (X,Y ) \in (E / \mathscr{R})^2 ,\;\; \forall x \in X ,\;\; \forall y \in Y: X\bar{T} Y =\phi (x T y) où \phi est la surjection canonique de E dans E / \mathscr{R}.

Si G est un groupe, toute relation d’équivalence \mathscr{R} compatible à gauche avec la loi de G est de la forme x^{-1}y \in H où H est un sous-groupe de G.

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