Archives de catégorie : probabilités

probabilités-statistiques 2

31 mai 2022 Stéphane

Statistiques

On cherche à étudier le caractère aléatoire de $n$ expériences fournissant les résultats chiffrés $x_1,..,x_n$ . Les $n$ expériences sont réalisées à l’identique et indépendamment les unes des autres.

Nous faisons donc l’hypothèse que l’observation $(x_1,..,x_n)$ provient de $n$ variables aléatoires $X_1,..,X_n$ identiquement distribuées. La famille $(X_1,..,X_n)$ est appelée un $n$ -échantillon et la loi commune des $X_i$ est notée $\mathcal L(X)$ . L’aléa lié à notre expérience est tel que $X_1 = x_1,..., X_n = x_n$ .

Le problème fondamental de la Statistique est de déterminer la loi commune des $X_i$ supposée inconnue à partir des résultats $(X_1,..,X_n)$ . On ne donnera pas de réponse absolue, on cherchera à déterminer une réponse approchée « la plus probable » selon des critères définis à l’avance.

Pour obtenir des résultats précis et intéressants, nous faisons un certain nombre d’hypothèses liées à l’expérience effectuée sur la loi commune $\mathcal L(X)$ des variables $(X_1,..,X_n)$ de l’échantillon, les différentes lois considérées possibles a priori pour les variables $X_i$ sont les $P_\theta$ , $\theta \in \Theta$ (on prédéfinit une famille de loi avec lesquelles il semble très probable de devoir travailler)

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probabilités

probabilité-statistiques 1

31 mai 2022 Stéphane

$\bullet$ On appelle univers, et on note $\Omega$ , l’ensemble des issues liées à une expérience aléatoire.

On considère l’ensemble $\A$ , appelé tribu, des parties de $\Omega$ obtenues par unions finies ou dénombrables d’éléments de $\Omega$ ainsi que par passage au complémentaire. Les éléments de $\A$ seront appelés évènements.

$\bullet$ On appelle mesure sur $\A$ toute fonction $\mu$ :

$\;\;\;\;$ Positive: $\mu(A)\geq 0$ , $\forall A \in \A$

$\;\;\;\;$ Additive: $C\cap D=\emptyset$ implique $\mu(C\cup D) =\mu (C)+ \mu(D)$

Si $\mu(\Omega)=1$ , on dit que $\mu$ est une probabilité sur $\Omega$ que nous noterons désormais $P$

$\bullet$ $\forall B$ tel que $P(B) \neq 0$ on appelle probabilité conditionnelle, et on note $P_B$ , la probabilité définie sur $\Omega$ par

$P_B(A)= \dfrac{ P(A\cap B)} {P(B)}$ $\forall A \in \A$

On retiendra : $P_B(A)= \dfrac{P_A(B). P(A)} {P(B)}$ )

Si $(E_i)_{1\leq i\leq n}$ est une partition de $\Omega$ , ( $E_i\cap E_j =\emptyset$ et $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} E_i= \Omega$ ), on a alors pour tout évènement $A$ :

$P(A) = \displaystyle\sum_{n=1}^{n} P_{E_i}(A) \times P(E_i)$

$\bullet$ On appelle variable aléatoire toute application $X$ d’un espace probabilisé $(\Omega, \A , P)$ dans $\R$ et on appelle loi de X la mesure $P_X$ définie sur $\R$ par : $P_X(A)=P(X^{-1}(A)) ,\forall A \in \R$ , que l’on note généralement $P(X \subset A)$

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Pile ou face !

6 février 2018 Stéphane

Un coup de pile ou face peut être représenté par un segment unité du quadrillage ci-dessous, dirigé toujours dans le sens des coordonnées croissantes : par exemple, 1 correspond à un vecteur unité parallèle à $Ox$ et 0 à un vecteur unité parallèle à $Oy$ . Dans ces conditions, une partie quelconque sera représentée par un chemin d’origine O, terminé en un certain point M, et tel qu’on se déplace toujours dans le sens positif des axes.

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Probabilités continues

5 mars 2017 Stéphane

Soit $\phi(M,M')$ une une fonction de deux points parcourant respectivement deux aires $A$ et $A'$ .
Si $\phi$ varie dans un certain intervalle $(\alpha,\beta)$ quelle est la probabilité pour que $\phi$ soit comprise entre $\gamma$ et $\gamma+d\gamma$

La probabilité cherchée est de la forme $\theta(\gamma)d\gamma$ avec bien sûr

$\displaystyle\int_\alpha^\beta \theta(\gamma)d\gamma =1$

Si $M$ est fixe, la mesure de l’aire du secteur correspondants aux points $M'$ tels que $\gamma\leq \phi \leq \gamma+d\gamma$ est de la forme $F(M,\gamma)d\gamma$ et la probabilité pour que $M'$ soit dans ce secteur est $\dfrac{1}{A'}F(M,\gamma)d\gamma$

$F$ pouvant être considéré comme constant sur un élément d’aire $dx\;dy$ entourant le point $M$ , on obtient finalement

$\theta(\gamma)=\dfrac{1}{A\;A'}\displaystyle\iint_A F(M,\gamma) dx\;dy$

Exemple 1:
$M$ et $M'$ étant deux point d’un segment $[AB]$ de longueur $a$ , déterminer la probabilité pour que $MM'$ ait une longueur inférieure à $\dfrac{a}{2}$
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LES ORIGINES DE LA LOI NORMALE

11 mai 2016 Stéphane

Ci dessous le long et douloureux calcul qui montre le lien entre loi binomiale et loi normale:

Point de départ, la formule de Stirling: $n!\sim(\dfrac{n}{e})^n\sqrt{2\pi n}$ .

Dans une suite de $n$ expériences, la probabilité d’obtenir $\alpha$ et $\beta$ fois les évènement A et B est donné par: $P=p^{\alpha}q^{\beta}\dfrac{n!}{\alpha!\beta!}$

Le terme le plus grand du développement de $(p+q)^n$ correspond aux valeurs de $\alpha$ et $\beta$ les plus voisinnes de $np$ et $nq$ , donc on pose: $a=np+x$ et $b=nq+y$ .